© Ricardo A. Queralt – Matemáticas Financieras Rentas Variables - 8.01 # 01
Tema 8: Rentas Variables
1 Rentas Variables en Progresión Geométrica.
2 Rentas Variables en General.
Bibliografía:
Teoría: Fanjul (Tema 6)
Práctica: Cabello (Tema 2)
2 8.01 Rentas Variables
8.01 #02 - Rentas Variables Matemáticas Financieras - © Ricardo A. Queralt
1 Progresión Geométrica
Son aquellas en las que la variación de los términos se produce de tal
forma que cada término se obtiene de multiplicar el término anterior
por la razón.
El cociente entre dos términos consecutivos se denomina razón de la
progresión.
Cs =Cs−1 ⋅q
Cs
Cs−1
= q
1.1. Progresión Geométrica, Temporal y Pospagable
El valor actual:
A(C; q )
ni =C ⋅ 1
1+ i
+ q
(1+ i)
2
++ qn−1
(1+ i)
n
#
$
% &
'
( =
=C ⋅
1
1+ i
− qn−1
(1+ i)
n ⋅ q
(1+ i)
1 − q
(1+ i)
=C ⋅
1 − qn
(1+ i)
n
1+ i −q
A(C; q )
ni =C ⋅
1 − qn
(1+ i)
n
1+ i −q
El valor final:
S(C; q )
ni = (1+ i)
n ⋅A(C; q )
ni =C ⋅
(1+ i)
n −qn
1+ i −q
Rentas Variables 8.01 3
© Ricardo A. Queralt – Matemáticas Financieras Rentas Variables - 8.01 # 03
1.1.1. Caso Particular:
q=1+i
Valor actual:
A(C; 1 + i)
ni =C ⋅ 1
1+ i
+
1+ i
(1+ i)
2
++ (1+ i)
n−1
(1+ i)
n
#
$
% &
'
( =
=C ⋅ 1
1+ i
+
1
1+ i
++
1
1+ i
#
$
% &
'
( =C ⋅ 1
1+ i
(1+1++1) =
= C ⋅n
1+ i
A(C; 1 + i)
ni = C ⋅n
1+ i
Valor final:
S(C; 1 + i)
ni = (1+ i)
n ⋅A(C; 1 + i)
ni =C ⋅n ⋅(1+ i)
n−1
1.2. Progresión Geométrica, Temporal y Prepagable
El valor actual:
A(C; q )
ni = (1+ i)⋅A(C; q )
ni
El valor final:
S
(C; q )
ni = (1+ i)⋅S(C; q )
ni
4 8.01 Rentas Variables
8.01 #04 - Rentas Variables Matemáticas Financieras - © Ricardo A. Queralt
1.2.1. Caso Particular:
q=1+i
Valor actual:
A(C; 1 + i)
ni = (1+ i)⋅A(C; 1 + i)
ni =C ⋅n
Valor final:
S
(C; 1 + i)
ni = (1+ i)⋅S(C; 1 + i)
ni =C ⋅n ⋅(1+ i)
n
Ejemplo 1: Rentas Variables Temporales
Calcular el valor actual y final de una renta temporal inmediata,
variable en progresión geométrica, de 10 términos anuales, cuyo
primer término es de 1.000€, con una razón de 0,20 y un tipo de
interés efectivo anual del 10%.
Estudiar en los casos de rentas pospagables y prepagables. n
Datos:
Pospagable:
A(C; q )
ni =C ⋅
1 − qn
(1+ i)
n
1+ i −q = 1.000 ⋅
1 − 0,2010
(1+ 0,10)
10
1+ 0,10 − 0,20 = 1.111€
S(C; q )
ni = (1+ i)
n ⋅A(C; q )
ni =C ⋅
(1+ i)
n −qn
1+ i −q
S(1.000; 0, 20)
10 0,10 = 1.000 ⋅
(1+ 0,10)
10 − 0,2010
1+ 0,10 − 0,20 = 2.882€
Prepagable:
A(C; q )
ni = (1+ i)⋅A(C; q )
ni
A(1.000; 0, 20)
10 0,10 = (1+ 0,10)⋅1.111 = 1.222€
S
(C; q )
ni = (1+ i)⋅S(C; q )
ni
S
(1.000; 0, 20)
10 0,10 = (1+ 0,10)⋅ 2.882 = 3.170€
n
Rentas Variables 8.01 5
© Ricardo A. Queralt – Matemáticas Financieras Rentas Variables - 8.01 # 05
1.3. Progresión Geométrica, Perpetua1
y Pospagable
El valor actual es:
A(C; q )
∞i = limn→∞
A(C; q )
ni = limn→∞
C ⋅
1 − qn
(1+ i)
n
1+ i −q =C ⋅
1 − limn→∞
q
1+ i
%
&
' (
)
*
n
1+ i −q
Debemos estudiar los siguientes casos:
3 q<(1+i)
A(C; q )
∞i =C ⋅
1 − limn→∞
q
1+ i
%
&
' (
)
*
n
→0
1+ i −q = C
1+ i −q
4 q>(1+i)
A(C; q )
∞i =C ⋅
1 − limn→∞
q
1+ i
%
&
' (
)
*
n
→
+∞
1+ i −q = +∞
5 q=(1+i)
A(C; q )
∞i =C ⋅
1 − limn→∞
q
1+ i
%
&
' (
)
*
n
→
+∞
1+ i −q = +∞
1 No tiene sentido hablar de valor final, ni podemos analizar las rentas
anticipadas
6 8.01 Rentas Variables
8.01 #06 - Rentas Variables Matemáticas Financieras - © Ricardo A. Queralt
1.4. Progresión Geométrica, Perpetua y Prepagable
El valor actual es:
A(C; q )
∞i = (1+ i)⋅A(C; q )
∞i
Debemos estudiar los siguientes casos:
1 q<(1+i)
A(C; q )
∞i = C ⋅(1+ i)
1+ i −q
2 q>(1+i)
A(C; q )
∞i = +∞
3 q=(1+i)
A(C; q )
∞i = +∞
Ejemplo 2: Rentas Variables Perpetuas
Calcular el valor actual de una renta perpetua inmediata, variable
en progresión geométrica, cuyo primer término es de 1.000€, con
una razón de 0,20 y un tipo de interés efectivo anual del 10%.
Estudiar en los casos de rentas pospagables y prepagables. n
Pospagable:
A(C; q )
∞i = C
1+ i −q
A(1.000; 0, 20)
∞ 0,10 = 1.000
1+ 0,10 − 0,20 = 1.111€
Prepagable:
A(C; q )
∞i = C ⋅(1+ i)
1+ i −q
A(1.000; 0, 20)
∞ 0,10 = 1.000 ×(1+ 0,10)
1+ 0,10 − 0,20 = 1.222€
n
Rentas Variables 8.01 7
© Ricardo A. Queralt – Matemáticas Financieras Rentas Variables - 8.01 # 07
1.5. Progresión Fraccionada Geométrica, Temporal y
Pospagable
Recordamos la relación de equivalencia entre los tipos de interés:
(1+ i) = 1+ i ( m )
m
= 1+
Jm
m
!
"
#
#
$
%
&
&
m
El valor actual es:
A(C;q )
(m )
n i = i
Jm
⋅A(C; q )
ni
El valor final:
S(C;q )
(m )
n i = i
Jm
⋅S(C; q )
ni
1.6. Progresión Fraccionada Geométrica, Temporal y
Prepagable
El valor actual es:
A
(C;q )
(m )
n i = (1+ i
m )⋅ i
Jm
⋅A(C; q )
ni
El valor final:
S
(C;q )
(m )
n i = (1+ i
m )⋅ i
Jm
⋅S(C; q )
ni
8 8.01 Rentas Variables
8.01 #08 - Rentas Variables Matemáticas Financieras - © Ricardo A. Queralt
Ejemplo 3: Rentas Variables Fraccionadas
Calcular el valor actual y final de una renta inmediata, variable en
progresión geométrica, de 10 años de duración, cuyo primer
término mensual es de 1.000€, incrementándose anualmente un 5%
y un tipo de interés efectivo anual del 10%.
Estudiar en los casos de rentas pospagables y prepagables. n
Pospagable:
(1+ i) = 1+ i ( m )
m
= 1+
Jm
m
!
"
#
#
$
%
&
&
m
i
m = 1+ i m −1 = 1+ 0,10 12 −1 = 0,00797414
Jm = m ⋅ 1+ i m −1 ( )
i
m
= 12 ⋅ 1+ 0,10 12 −1 ( ) = 0,095689685
A(C;q )
(m )
n i = i
Jm
⋅A(C; q )
ni
A(12.000;1,05)
(12)
10 0,10 = 0,10
0,095689685 ⋅A(12.000; 1,05)
10 0,10 = 93.299€
S(C;q )
(m )
n i = i
Jm
⋅S(C; q )
ni
S(12.000;1,05)
(12)
10 0,10 = 0,10
0,095689685 ⋅S(12.000; 1,05)
10 0,10 = 241.994€
Prepagable:
A
(C;q )
(m )
n i = (1+ i
m )⋅ i
Jm
⋅A(C; q )
ni = (1+ 0,00797414)⋅ 93.299 = 94.043€
S
(C;q )
(m )
n i = (1+ i
m )⋅ i
Jm
⋅S(C; q )
ni = (1+ 0,00797414)⋅ 241.994 = 243.925€
n
Rentas Variables 8.01 9
© Ricardo A. Queralt – Matemáticas Financieras Rentas Variables - 8.01 # 09
1.7. Progresión Fraccionada Geométrica, Perpetua y Pospagable
El valor actual es:
A(C;q )
(m )
∞ i = i
Jm
⋅A(C; q )
∞i = i
Jm
⋅ C
1+ i −q
1.8. Progresión Fraccionada Geométrica, Perpetua y Prepagable
El valor actual es:
A
(C;q )
(m )
∞ i = i
Jm
⋅A(C; q )
∞i ⋅(1+ i
m ) = i
Jm
⋅
C ⋅(1+ i
m )
1+ i −q
Ejemplo 4: Rentas Variables Perpetuas Fraccionadas
Calcular el valor actual de una renta perpetua inmediata, variable
en progresión geométrica, cuyo primer término mensual es de
1.000€, incrementándose anualmente un 5% y un tipo de interés
efectivo anual del 10%.
Estudiar en los casos de rentas pospagables y prepagables. n
Pospagable:
(1+ i) = 1+ i ( m )
m
= 1+
Jm
m
!
"
#
#
$
%
&
&
m
i
m = 1+ i m −1 = 1+ 0,10 12 −1 = 0,00797414
Jm = m ⋅ 1+ i m −1 ( )
i
m
= 12 ⋅ 1+ 0,10 12 −1 ( ) = 0,095689685
A(C;q )
(m )
∞ i = i
Jm
⋅A(C; q )
∞i = i
Jm
⋅ C
1+ i −q
A(12.000;1,05)
(12)
∞ 0,10 = 0,10
0,095689685 ⋅ 12.000
1+ 0,10 −1,05 = 250.811€
Prepagable:
A
(C;q )
(m )
∞ i = i
Jm
⋅A(C; q )
∞i ⋅(1+ i
m ) = (1+ 0,00797414)⋅ 250.811 = 252.811€
n
10 8.02 Rentas Variables
8.02 #10 - Rentas Variables Matemáticas Financieras - © Ricardo A. Queralt
2 Rentas Variables en General
2.1. Renta Variable Temporal y Pospagable
El valor actual:
V0 = C1
1+ i
+
C2
(1+ i)
2
++
Cn
(1+ i)
n = Cs
(1+ i)
s
s=1
n
∑
El valor final:
Vn =C1 ⋅(1+ i)
n−1 +C2 ⋅(1+ i)
n−2 ++Cn−1 ⋅(1+ i)+Cn = Cs (1+ i)
n−s
s=1
n
∑
2.2. Renta Variable Temporal y Prepagable
El valor actual:
V
0 = (1+ i)⋅V0
El valor final:
V
n = (1+ i)⋅Vn
Rentas Variables 8.02 11
© Ricardo A. Queralt – Matemáticas Financieras Rentas Variables - 8.02 # 11
Ejemplo 5: Rentas Variables Generales
Calcular el valor actual y final de una renta variable, de 9 años de
duración, si la cuantía de los tres primeros términos es de 10.000€,
la cuantía de los tres siguientes es el doble, y para los tres últimos
el triple de la inicial, para un tipo de interés efectivo anual del 10%.
Estudiar en los casos de rentas pospagables y prepagables. n
Pospagable:
V0 = 10.000 ⋅a3 0,10 +
20.000 ⋅a3 0,10
(1+ 0,10)
3
+
30.000 ⋅a3 0,10
(1+ 0,10)
6 = 104.350€
Vn = 10.000 ⋅S3 0,10 ⋅(1+ 0,10)
6 + 20.000 ⋅S3 0,10 ⋅(1+ 0,10)
3 + 30.000 ⋅S3 0,10 =
= 246.051€
Prepagable:
V
0 = (1+ i)⋅V0 = (1+ 0,10)⋅104.350 = 114.785€
V
n = (1+ i)⋅Vn = (1+ 0,10)⋅ 246.051 = 270.656€
n